予備校地理講師兼進学塾講師・山岡信幸のブログです。
先日の記事 に出てきた「トレミーの定理」を証明しておこう。
とても美しい定理だし、高校入試でも役立つ場面は結構あるのだ。

仮定 四角形ABCDが円に内接する.
結論 内接四角形の2対角線の積は、2組の対辺それぞれの積の和に等しい.
    つまり AC×BD=AB×CD+BC×AD
fig1.jpg

証明 BD上に∠BAE=∠CADとなるように点Eをとる. ←ここが技巧的かも
fig2.jpg

△ABEと△ACDにおいて(下図)
∠BAE=∠CAD(作図) … (1)  
∠ABE=∠ACD(弧ADを見込む円周角)
∴2角相等がいえて △ABE∽△ACD … (2)
fig3.jpg

△ABCと△AEDにおいて(下図)
(1)より∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC  
よって∠BAC=∠EAD
また 
∠BCA=∠EDA(弧ADを見込む円周角)
∴△ABC∽△AED … (3)
fig4.jpg

(2)より AB:AC=BE:CD
内項の積と外項の積は等しく BE×AC=AB×CD … (4)

(3)より AC:AD=BC:ED
上と同様に AC×ED=BC×AD … (5)

(4)(5)の辺々を加えて 
     BE×AC+AC×ED=AB×CD+BC×AD
左辺に分配法則の逆を用いて
     AC×(BE+ED)=AB×CD+BC×AD
BE+ED=BDであるから
       AC×BD=AB×CD+BC×AD (Q.E.D.)







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